莫比乌斯环
手绢中的宇宙


文章出自:博物 2009年第08期 作者: 顾森 

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把一张纸带扭转180度后,再两端对接粘在一起。现在,试着从纸上的任意位置出发前行,当你游历一圈回到起点,这趟旅行将纸圈“内外”走了一个遍。恭喜,你已经亲手制作出一个莫比乌斯环。

会魔法的几何形体

世界上第一个莫比乌斯环,是德国数学家莫比乌斯构造出来的。1858年,他偶然“发现”了这奇异的几何形状。

克莱因瓶如何盛下宇宙
我们知道如何制作莫比乌斯环——只需要把一张长方形纸条拧180度后再把头尾两端对接起来粘在一起,就可以了。克莱因瓶则更为复杂些,它由一个封闭的曲面组成,不分“内”、“外”,只有一面,同时又没有任何边界。

它只有一个面,构造简单至极。但是,当数学家尝试研究它的几何本质时,不禁被其各种古怪的特性所震撼。如果你用一把剪刀沿着莫比乌斯环的中线剪开,你会发现:纸环并没有被剪成两个,而是变成了一个更细、更大的纸环。新的纸环被扭转了360度,失去了单面的性质。如此重复,继续剪开这个新的纸环,结果会让你大吃一惊——剪出来的竟然是两个套在一起的纸环,……莫比乌斯环的魔力远不止这些,而更神奇的是,它居然还有一个“兄弟”。

莫比乌斯环的兄弟

以《爱丽丝漫游奇境》享誉文坛的路易斯·卡洛尔,恐怕是世界上最有数学情怀的童话作家。在他的故事中,少不了妙趣横生的数学谜题。其中“手绢中的宇宙”就是如此一个奥妙无穷的命题:怎样用两张方手绢,缝成一个没有里面与外面之分的“口袋”?——这个口袋由于两面相通,所以能够“装下全宇宙”。

拓扑学:甜面圈和咖啡杯的区别
莫比乌斯环属于拓扑学的范畴,究竟什么是“拓扑学”?这门学科研究的是几何图形在改变形状时还保持不变的那些特性。比如说,由于咖啡杯和甜面圈都可以看作一个有洞的连通体,所以属于同一种拓扑形。因此,就有这样一个笑话:“拓扑学家就是那种没办法分清甜面圈和咖啡杯的人。”

不要以为这只是童话情节,牛津大学数学系出身的卡洛尔,从来不在数学问题上信口开河。故事中那个“内外不分”,只存在一个面的构造,就是莫比乌斯环的推论——克莱因瓶。

责任编辑 / 萧潇 

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